数学の質問、微分方程式の問題です。・問題a=

Writer: admin Type: jracademy Date: 2019-01-09 00:00
数学の質問、微分方程式の問題です。・問題a=a(t)はRにおける連続関数であるとし、a(t)=a(t+1)と仮定する。またγ>0とする。この時、u=u(t)を未知関数とする方程式du/dt=-γu+a(t)にはu(t+1)=u(t)(t∈R)となるような解u(t)が唯一存在することを示せ。・質問唯一性に関しては、仮にu(t)の他にw(t)が存在するとして、d(u-w)/dt=-γ(u-w)となるが、u≠wとした場合は、u-wは周期関数になるはずだが、u-w=Ae^(-γt)となり周期関数にならず矛盾。よってu=wとなり唯一性は示された。唯一性は示せたのですが、存在性が示せません。教えてください。共感した0###デュハメルの原理を使いますd/dt(u,u')=(u',u'')=(u',-γu'+a')=(0,1;0,-γ)(u,u')+(0,a')A=(0,1;0,-γ)とすると、e^(-tA)とAとの可換性から、d/dt(e^(-tA)(u,u'))=e^(-tA)(0,a')となりますこれを積分して両辺にe^(tA)を左からかけると、u=-1/γ∫a'dt=-a/γとなるので周期的な解が存在しますナイス0
###ありがとうございます!

 

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